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Soit un cardinal A.
On dit qu'il a pour « divisant » un cardinal B, si la division d'A par B n'a aucun rompu, c-à-d si A vaut B plus B plus B ... (n fois).
Nommons « primitif » (on aurait pu choisir « primal ») un cardinal A qui n'a aucun divisant plus grand qu'un.
Montrons qu'il y a toujours un primitif plus grand qu'un cardinal pris au hasard, donc qu'ils s'accroîtront jusqu'à l'infini.
Tout d'abord, nous connaissons la proposition 1 (qu'on pourrait garantir sans aucun mal si on voulait) : si A a pour divisant B (pour tout B plus grand qu'un), alors A plus un n'a jamais pour divisant B.
On sait aussi (proposition 2) qu'un cardinal ayant au moins un divisant, a toujours au moins un divisant primitif (car s'il a un divisant non primitif, son divisant a aussi un divisant ; or tout divisant d'un divisant d'un cardinal produira aussi un divisant du cardinal).
Supposons donc (supposition 1) qu'il y ait N primitifs au total (pour un N fini), ni plus ni moins, soit p1, p2 ... pN.
On a alors un cardinal X produit par la multiplication p1 fois p2 fois ... fois pN. On voit qu'X a pour divisants p1, p2 ... pN.
Soit alors Y qui vaut X plus un, voyons par quoi nous divisons Y. Suivant la proposition 1, Y n'a pour divisant ni p1, ni p2, ... ni pN. Il n'a donc pour divisant aucun primitif (car nous supposons ici qu'il n'y a aucun primitif à part p1, p2 ... pN). Or, suivant la proposition 2 (par contraposition), s'il n'a aucun divisant primitif, il n'a aucun divisant du tout.
On voit donc qu'il y a un cardinal Y qui n'a aucun divisant, c-à-d un primitif, qui n'apparaît pas dans p1, p2 ... pN. D'où la contradiction qu'on voulait par rapport à la supposition 1.
Conclusion : on pourra toujours bâtir un primitif plus grand qu'un cardinal fourni, ad infinitum. CQFD.
Nicolas Graner, mars 1999, Licence Art Libre