Cryptarithmes
Solution
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Entrez un cryptarithme
Qu'est-ce qu'un cryptarithme ?
Un cryptarithme (en anglais : cryptarithm,
cryptarithmic, cryptarithmetic, alphametic, etc.) est une
opération arithmétique dans laquelle chaque chiffre a
été remplacé par une lettre. Il y a une
correspondance bi-univoque entre lettres et chiffres : une
même lettre représente toujours le même chiffre,
deux lettres différentes représentent deux chiffres
différents. Le but du jeu est, à partir de
l'opération en lettres, de trouver une correspondance entre
lettres et chiffres qui donne un résultat exact.
En général un cryptarithme se présente sous la
forme d'une égalité, par exemple : ABC + ACD = CEE
(dont une des solutions est : A→3, B→4, C→7,
D→5, E→2, qui donne 347 + 375 = 722). Cependant, sur la présente page ce peut
être une expression beaucoup plus générale.
Pour certains amateurs, un cryptarithme doit obligatoirement
possèder une solution unique (une seule substitution des
lettres par des chiffres donne une opération exacte). Les
exemples de cette page ne respectent pas tous cette règle,
lorsque c'est le cas ils sont marqués du symbole ¤.
Comment résoudre un cryptarithme ?
Prenons un exemple très simple :
AB
+ BA
= CBC
Dans la colonne du milieu, on voit qu'en ajoutant A et B on obtient B.
A ne peut pas valoir 0 car il est en tête du premier nombre (et
d'ailleurs si A valait 0, dans la colonne de droite la somme B + 0
vaudrait B et non C). La seule possibilité est donc A→9 et
il doit y avoir une retenue venant de la colonne de droite : B +
9 + 1(retenue) = B + 10 donne bien B, avec une retenue de 1. Le C de
la colonne de gauche vient de cette retenue, donc C→1. En
revenant à la colonne de droite, on voit que 9 + B = 11 (soit
C, qui vaut 1, et une retenue de 1), donc B→2. Le cryptarithme
est résolu : A→9, B→2, C→1 et
l'opération 92 + 29 = 121 est exacte.
La résolution est habituellement beaucoup plus compliquée, tout en relevant du même principe général. On est
souvent obligé de faire des hypothèses sur certaines
valeurs, d'en tirer toutes les conséquences, puis de revenir en
arrière si on aboutit à une contradiction.
Une méthode bien plus simple consiste à
écrire le cryptarithme dans la case en haut de cette page,
cliquer sur « Résoudre » et attendre
quelques secondes que la ou les solutions s'affichent.
Quelques exemples
Les cryptarithmes les plus intéressants sont ceux dont les mots
ont un rapport entre eux, voire forment une phrase. Le plus connu de
ce genre est censé être une lettre envoyée par un
étudiant désargenté à ses parents :
SEND + MORE = MONEY ¤ (send more money
signifie « envoyez plus d'argent » en anglais).
Ci-dessous d'autres exemples qui ont été trouvés
par des amis ou par moi-même. En cliquant sur un cryptarithme il
sera automatiquement copié dans la case en haut de cette page
et vous verrez sa solution. Le symbole ¤ signifie que la
solution est unique. Le nom indiqué entre parenthèses
est celui de la personne qui me l'a signalé, qui n'est pas
forcément l'auteur. Si vous en trouvez d'autres qui vous
semblent dignes d'intérêt, notamment s'ils ne sont pas de
simples additions, envoyez-les moi.
- CRYPTA + RITHME = TRAITRE (éric Angelini)
- CRYPTA + RITHME = EMPETRE ¤ (Nicolas Graner)
- OASIS + SOLEIL = MIRAGE ¤ (Philippe Deschamp)
- MANGER + MANGER = GROSSIR ¤ (Christelle Ollier)
- COCA + COLA = PEPSI (Philippe Deschamp)
- ALCOOL + ALCOOL = IVRESSE (Kevin Caillaud)
- LECON + ELEVE = DEVOIR ¤ (Henri Delebecque)
- KILO + KILO = TONNE ¤ (Frédéric Morlet)
- CHEVAL + VACHE = OISEAU ¤ (Sabine Rudra)
- EPOUX + EPOUSE = COUPLE (Philippe Deschamp)
- MARI + FEMME + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT +
ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT +
ENFANT + ENFANT + ENFANT = FAMILLE ¤ (éric Angelini)
(les seuls nombres d'enfants qui donnent
une solution unique sont 12 et 18)
- FRERE + SOEUR = BASTON ¤ (Xavier Gélard)
- LIGNE + LIGNE + LIGNE + LIGNE = TEXTE ¤ (éric Angelini)
- MI + RE + DIESE + MI + RE + DIESE + MI = ELISE (Nicolas Graner)
(on reconnaît le début de la lettre à élise de Beethoven : mi, ré dièse, mi, ré dièse, mi)
- VEUVAGE - TENEBRE = NERVAL (Nicolas Graner)
(cf. Gérard de Nerval : « Je suis le ténébreux, le veuf, l'inconsolé »)
- NERVAL + ABACLAR = AVATARS (Camille Abaclar)
- ARGENT + ARGENT = BONHEUR ¤ (éric Angelini)
ARGENT + ARGENT = MALHEUR ¤ (éric Angelini)
(il y a également une solution unique pour le
BONHEUR avec d'autres quantités d'ARGENT, jusqu'à
95. Pour le
MALHEUR, le maximum est de 72. Comme quoi il ne
faut pas toujours croire les proverbes.)
- LOCO + WAGON + WAGON + WAGON + WAGON + WAGON + WAGON + WAGON = TRAIN ¤
(il y a une solution unique avec 7 ou 8 wagons et des solutions multiples avec 2, 3, 4, 5 ou 9)
- MOIS + MOIS + MOIS + MOIS + MOIS + MOIS +
MOIS + MOIS + MOIS + MOIS + MOIS + MOIS = ANNEE (Antoine Bugnicourt)
(il y a une solution unique avec 6, 9, 23,
24, 26, 32, 39, 40, 49, 56, 58, 63, 65, 72, 78 ou 80 MOIS,
et des solutions multiples pour vingt et un autres nombres, dont 12)
- ZERO + TROIS + TREIZE + TRENTE = NOMBRES ¤ (éric Angelini)
(c'est la seule somme de nombres distincts qui donne le mot
NOMBRES et possède une solution unique)
- PLUS + PLUS = MOINS (Michel Clavel)
- MARS + SATURNE + NEPTUNE = PLANETES ¤ (éric Angelini)
- VENUS + TERRE + MARS + SATURNE + URANUS = NEPTUNE ¤ (éric Angelini)
- BLEUET + CELOSIE + LOTUS + SOLEIL + SOUCI = BOUQUET ¤ (éric Angelini)
- ASTATE + HELIUM + LANTHANE + LITHIUM + LUTETIUM + TANTALE + THALLIUM + TITANE = ELEMENTS ¤ (éric Angelini)
- NOIR + NOIR = BLANC (Michel Clavel)
- EAU + FEU = RIEN (Michel Clavel)
- ROUGE + GORGE = OISEAU (Michel Clavel)
- CHIEN + DENT = HERBE (Michel Clavel)
- SCIE + TRONC = FRUIT (Michel Clavel)
- CHAT + POT = BIBI (Michel Clavel)
- ! (ABOLI - BIBELOT + INANITE + SONORE) ¤ (Gilles Esposito-Farèse)
(dans cette référence à
un
sonnet de Stéphane Mallarmé, le point d'exclamation
(négation) signifie que l'expression qui suit doit être
égale à 0, ce qui évoque le silence ou
l'inanité sonore. On aurait pu l'écrire aussi ABOLI -
BIBELOT + INANITE + SONORE = 0 ou même ABOLI + INANITE + SONORE
= BIBELOT mais ce serait moins élégant.)
- MOI + TOI + LUI + ELLE = NOUS (Philippe Deschamp)
(de même : MOI+TOI, MOI+LUI, MOI+ELLE,
MOI+TOI+LUI, MOI+TOI+ELLE et MOI+LUI+ELLE peuvent
tous être égaux à NOUS)
- MOI + TOI = ZERO (Michel Clavel)
- TOI + LUI + ELLE = VOUS (Philippe Deschamp)
(de même : TOI+TOI, TOI+LUI, TOI+ELLE,
TOI+EUX et TOI+EUX+ELLE = VOUS)
- LUI + LUI + LUI + LUI + LUI + LUI + LUI = EUX ¤ (Philippe Deschamp)
(également une solution unique avec six LUI au lieu de sept, et des solutions multiples avec deux à cinq LUI)
- CARTE + CARTE + CARTE + CARTE + CARTE = POKER ¤ (éric Angelini)
- AS + AS + TROIS + TROIS = PAIRES ¤ (éric Angelini)
- ROI + ROI + VALET + VALET = PAIRES ¤ (éric Angelini)
- ROI + ROI + TROIS + TROIS = PAIRES ¤ (éric Angelini)
- SIX + SEPT + HUIT = SUITE ¤ (éric Angelini)
- DEUX + DEUX + HUIT + HUIT + HUIT = FULL ¤ (éric Angelini)
- NEUF + NEUF + CINQ + CINQ + CINQ = FULL ¤ (éric Angelini)
- VALET + VALET + VALET + VALET = CARRE ¤ (éric Angelini)
- DAME + DAME + DAME + DAME = CARRE ¤ (éric Angelini)
- VINGT + VINGT = ANNEE ¤ (Emmanuel Volte)
(envoyé pour la nouvelle année en 2020)
- BON + WEEK + END = ADIEU (Philippe Deschamp)
- MERCI + MERCI + ... + MERCI = NICOLAS [avec 568 MERCI] ¤ (éric Angelini)
(il y a aussi une solution unique pour certains
nombres inférieurs de MERCI)
- SIGNE + NICO = GRANER ¤ (Nicolas Graner)
Cryptarithmes arithmétiques
Un cas particulier très prisé des amateurs est celui des
opérations écrites en toutes lettres, qui sont exactes
aussi bien quand on les lit en français que quand on les
interprète comme des cryptarithmes. Par exemple NEUF + UN + UN = ONZE
est vrai, et le reste si on effectue les substitutions E→9,
F→7, N→1, O→2, U→8, Z→4 pour obtenir 1987 +
81 + 81 = 2149. En voici d'autres exemples :
Quel est le plus long cryptarithme ?
Le 29 novembre 2005, éric Angelini annonça
qu'il avait découvert (avec l'aide de Don Reble) un
cryptarithme à solution unique comportant plus de
neuf septillions de termes ! Ce record est
présenté et expliqué en détail
sur
le site d'éric.
La question se posa alors de savoir s'il existait
des cryptarithmes de longueur aussi grande que l'on
veut. En s'appuyant sur le résultat précédent et sur
la nomenclature de Conway et
Wechsler qui permet de donner un nom à tous les
nombres entiers sans aucune limite, Patrick Coilland
a répondu positivement le 4 décembre 2005.
Son cryptarithme extensible à l'infini se présente
ainsi :
UN_TRILLINILLINILLI...NILLITRILLION + HUIT
+ ZERO + ZERO + ... + ZERO
= UN_TRILLINILLINILLI...NILLITRILLION_HUIT
(Le caractère « souligné » relie les mots qui sont
normalement séparés dans l'écriture des nombres
mais doivent être accolés pour le
cryptarithme.)
L'élément NILLI apparaît p fois dans
chacun des grands nombres, et le mot ZERO apparaît
573065554043040430...40430881555640 fois (la
suite 40430 figure p fois dans ce
nombre). Pour chaque valeur de p on
obtient un cryptarithme différent, dont la solution
unique est :
Trois jours plus tard, Patrick Coilland améliorait encore cette
performance avec un cryptarithme extensible à l'infini
n'utilisant pas le ZERO. Ce cryptarithme
« parfait » (forme
« classique » avec une somme à gauche et
un seul terme à droite, solution unique, pas de ZERO et nombre
de termes non limité) se présente ainsi :
UN + UN + ... + UN + SIX +
SIX + ... + SIX +
SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS
=
SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS_SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS
où les nombres de UN, de SIX et de NILLI doivent
respecter des relations précises qui sont
explicitées au bas de
la
page déjà citée d'éric Angelini.
D'autres sites
Il existe de très nombreux sites Web en anglais
consacrés aux
cryptarithmes, avec ou sans possibilité de les
résoudre « en ligne ». Vous pouvez commencer par
exemple par
celui
de Naoyuki Tamura puis suivre ses liens.
Robert B. Israel propose
une applet pour
résoudre les cryptarithmes (qu'il appelle « alphametic ») faisant intervenir les
quatre opérations et les puissances.
Pour composer vos propres cryptarithmes avec les
mots qui vous intéressent, voyez
le
site de Truman Collins. Il comprend un
générateur de problèmes très puissant ainsi qu'une
vaste collection de cryptarithmes, y compris
certains trouvés dans la Bible ou les œuvres de
Shakespeare.
Nicolas Graner, 2004 & 2013, Licence Art Libre
